Esta apresentação tem como objetivo mostrar os conceitos básicos sobre distribuições de probabilidade, além de demonstrar:

• Diferentes distribuições probabilísticas;
• Uso aplicado de tais distribuições em contexto prático;
• Uso delas no R;

Antes de definir o espaço amostral, deve-se compreender o conceito de evento aleatório, o qual pode ser, simplificademente, atribuído como um evento cujo resultado não pode ser previsto antes de sua execução.

O espaço amostral, por sua vez, representa todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Na estatística, ele é representado pela letra grega ômega maiúsculo “\(\Omega\)”.

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A variável aleatória, por sua vez, associa os resultados deste espaço amostral a um número/intervalo de números e a uma probabilidade dela ocorrer. A variável aleatória é denotada por \(X\) e os seus valores, por \(x\).

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Variáveis aleatórias são divididas de acordo como as probabilidades se relacionam os seus valores. No caso das discretas, cada número será associado a uma probabilidade.

Matematicamente, a sua função que descreve o comportamente desta variável é definida por:

\(F(x) = P(X \leq x) = \sum_{j | x_j < x}^{} p(x_j)\)

Um exemplo prático seria a probabilidade de tirar um número em um dado justo de seis lados: todos os valores tem a probabiliade atrelada a eles em \(\frac{1}{6}\).

Assim, se fizermos a pergunta de qual a probabilidade está associada ao 1, por exemplo, teremos:

\(P(x = 1) = 0.16666...\)

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Já a contínua, como a própria classificação indica, já tem um domínio contínuo, sendo que os valores da variável em si são inumeráveis. Assim, apontar uma probablidade para um valor específico é impossível.

Levando em consideração o Segundo Axioma de Kolmogorov (probabilidade de um evento elementar ocorrer deve ser igual a 1), a funçao de densidade de uma variável aleatória contínua deverá seguir o comportamento de:

\(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1\)

Contudo, é possível determinal a possibililade de um intervalo acontecer. Usando o exemplo interior, suponha que, em vez de dados, seja um gerador de número aleatório que sorteia de 1 a 6, com todos os números tendo uma probabilidade igual de serem lançados.

A probabilidade dele gerar um número entre 0 e 1 será de:

\(P(0 \leq x \leq 1) = \int_{0}^{1}f(x)dx = 0.16666...\)

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Como mostrado anteriormente, as variáveis aleatórias podem apresentar um comportamento que pode ser descrito por meio de funções. Algumas destas funções têm amplo uso na ciência e matemática aplicada, visto que elas conseguem representar certos eventos reais ou apresentar uma característica especial para uso em ciências aplicadas.

Tendo em vista isso, o R já vem imbutido com funções para representar certas distribuções, além de ser sempre possível instalar pacotes para obter mais funções para descrever mais modelos.

Sendo estas observações feitas, as funções de distribuição do pacote base do R e de alguns outros seguem um padrão comum. Tome como exemplo a função binom:

_binom(argumento, size, prob)

A começar pela função chamada, binom se refere ao nome da distribuição usada, a binomial (mais detalhes a frente). O prefixo _ especifica a função a ser usada para o cálculo

• d se refere a função de densidade de probabilidade do modelo. Ao ser usado, ele retornará a probabilidade atrelada da variável aleatória de valor argumento em funções discretas ou a “altura” da função no caso de distribuições contínuas;

• p se refere a função de probabilidade de acumulada, ou seja, qual é a possibilidade de obter um valor menor que argumento nesta distribuição. Ao usar a estrutura lower.tail = FALSE, a função agora irá calcular a probabilidade de obter maior que argumento;

• q será a função de quantil. Ao ser usada, ela calculará qual o intervalo de valores da variável aleatória que tem uma probabilidade menor de ocorrer que o argumento inserido. Por este motivo, a função só aceitará argumento entre 0 e 1. lower.tail também pode ser usado nesta função

• E, por fim nos prefixos, r é uma função que gerará um número de argumentos de valores que sigam o modelo da distribuição listada. Por causa disso, argumento só pode ser representado por números naturais neste caso

Dos argumentos internos, além dos dados de entrada e lower.tail, size e prob são argumentos que correspondem a parâmetros numéricos da distribuição: no caso da binomial, size representa o número de tentativas do evento e prob a probabilidade de um resultado positivo.

Tais argumentos podem ser referidos com outros nomes em outras funções (shape, rate, mean e sd, por exemplo). Eles podem representar parâmetros específicos a distribuição (\(\gamma\) na distribuição gamma, por exemplo) ou simplesmente a média e desvio padrão do modelo. A consulta à função e seus argumentos deverá ser feita antes de ser usada.

Dado o uso destas funções no R, a próxima parte desta apresentação se contentará em demonstrar alguns modelos utilzados nas áreas das ciências gerais:

A distribuição binomial é uma derivação da distribuição de Bernoulli: uma distribuição simples discreta que define a probabilidade de um evento ter sucesso (1) ou não (0).

Contudo, ela leva em consideração que tal evento seja repetido \(n\) vezes. Com isso, a binomial atribui uma probabilidade ao número de vezes que se obteve um sucesso. Ela pode ser denotada matematicamente como:

\[P[X = x] = C{_x^n}(1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, ... \]

Na fórmula anterior, as incógnitas são:

• \(n\), o número de eventos sucessivos realizados;

• \(p\), a probabilidade de um sucesso;

• \(C{_x^n}\), o coeficiente binomial, calculado via combinação de \(n\) elementos tomados de \(x\) a \(x\)

A distribuição binomial é extremamente útil para descrição de eventos combinatórios na estatística. Ela pode ser observada em eventos simples como lançamento de dados e moedas ou até mais complexos como testes de eficácia de novos remédios.

A estrutura desta função específica fora demonstrada anteriormente. Para os parâmetros internos, temos:

• \(n\) será equivalente a size;

• \(p\) é equivalente a prob.

Trata-se de outra distribuição discreta embasada na distribuição de Bernoulli. Dado um experimento com probabilidade de sucesso igual a \(p\), a distribuição dará a probabilidade \(P(x)\) de se obter o primeiro sucesso após um número de \(x\) fracassos, podendo ser expressa como:

\[P(X = x) = (1-p)^x \ p \ , x = 0, 1, 2, ... \] Pela sua natureza, ela pode expressar valores como a possbilidade de tirar um “6” após \(x\) números de lançamentos de dados ou, em termos de engenharia civil, a chance de uma chuva de retorno de 50 anos (\(p = 0.02\)) nos próximos 20 anos.

A famíla de funções geom fará o uso desta distribuição:

dgeom(argumento, prob)
qgeom(argumento, prob)
pgeom(argumento, prob)
rgeom(argumento, prob)

Com prob sendo a probabilidade \(p\) de sucesso do evento.

A distribuição de Poisson é uma outra derivação da Binomial. Ela é obtida ao extrapolar o número de eventos \(n\) ao infinito, com o modelo atrelado a uma taxa de ocorrência \(\lambda\)

\[P(X = x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, x = 0, 1, 2, ... \] Comum em experimentos biológicos, usada para modelar o número de ocorrências de um evento natural em um determinado espaço de tempo (replicação de um vírus, por exemplo).

Dentro do R, a função que invoca Poisson será:

dpois(argumento, lambda)
qpois(argumento, lambda)
ppois(argumento, lambda)
rpois(argumento, lambda)

Com lambda sendo intuitivamente \(\lambda\)

Talvez a distribuição de mais simples modelagem e compreensão da lista, a uniforme simplesmente descreve que todos os intervalos de valores de mesmo tamanho possuem a mesma probabibilidade de ocorrênica. Ela pode ser descrita matematicamente como:

\[ f(x) = \frac{1}{b - a} \ para \ a \leq x \leq b \]

Com \(a\) e \(b\) sendo os limites inferior e superior da distribuição, respectivamente.

Apesar de sua simplicidade, ela descreve sistemas simples probabilísticos como sorteios aleatórios simples, jogos de azar como loteria ou roleta e é usada integralmente para usos computacionais como geradores de número aleatórios simples.

A família de funções que invoca a função uniforme é a série unif:

dunif(argumento, min, max)
quinf(argumento, min, max)
punif(argumento, min, max)
runif(argumento, min, max)

Com min sendo \(a\) e max, \(b\)

A distribuição normal provavelmente é a mais reconhecida destes modelos. Devido a sua natureza, suas ocorrências e aplicações no mundo real. Altura, notas de estudante, QI são uns dos eventos observados que seguem a este modelo.

Não só isso mas, segundo o Teorema do Limite Central, dada uma distribuição probabilística qualquer, a medida que o número de elementos em amostras de uma população se aproxima ao infinito, a média delas se aproximará à normal.

Na engenharia civil, ela é utilizada para determinação de resistência do concreto via análise de amostras.

A distribuição normal se comporta segundo a seguinte lei:

\[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}}, para -\infty \leq x \leq \infty \] Em que:

• \(\sigma\) é o desvio padrão;

• \(\mu\) é a média.

No R, para utilizar a distribuição normal, usa-se:

dnorm(argumento, mean, sd)
qnorm(argumento, mean, sd)
pnorm(argumento, mean, sd)
rnorm(argumento, mean, sd)

Com mean sendo a média \(\mu\) e sd o desvio padrão \(\sigma\).

Uma derivação da distribuição normal, porém com a diferença de que se utiliza o valor do logaritmo na base de 10 da variável aleatória:

\[f(x) = \frac{1}{ x\sigma_{log} \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}\frac{[log(x) - \mu_{log}]^2}{\sigma_{log}^2}}, para -\infty \leq x \leq \infty \] Assim como a normal, ela foi atribuída a várias ocorrência empíricas como distribuição de renda, potência de sinais em comunição wireless e até em números de infectatdos de epidemais de doenças de rápida transmissão como o SARS em 2003.

A chamada e argumentos desta função são semelhantes aos presentes na normal:

dlnorm(argumento, meanlog, sdlog)
qlnorm(argumento, meanlog, sdlog)
plnorm(argumento, meanlog, sdlog)
rlnorm(argumento, meanlog, sdlog)

Com logmean sendo a média dos logaritmos da varíavel e sdlog o desvio padrão destes mesmo logaritmos.

Esta distribuição contínua é uma das quais que possui a natureza específica de descrever bem valores extremos, conferindo-lhe um nicho na análise estatística.

Na engenharia civil, é comum seu uso para análise e descrição de chuvas e secas intensas, assim como determinação de vazão de cheias de rios e canais hidráulicos.

A equação que a descreve é:

\[ f(x; \lambda, k) = \frac{k}{\lambda} \bigg( \frac{x}{\lambda} \bigg)^{k-1} e^{(x/\lambda)^k}, x \geq 0 \]

Onde na equação:

• \(\lambda\) é o parâmetro de escala (\(\lambda > 0\));

• \(k\) é o parâmetro de forma \((k > 0)\).

E com o código desta distribuição sendo expresso em R como:

dweibull(argumento, shape, scale)
qweibull(argumento, shape, scale)
pweibull(argumento, shape, scale)
rweibull(argumento, shape, scale)

Com shape sendo \(k\) e scale representando \(\lambda\).

Por causa da natureza do Número de Euler se associar a crescimento, há distribuições contínuas de probabilidade que podem ser expressas via uma potência deste número. A distribuição exponencial comporta de acordo com seguinte lei:

\[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \ x \geq 0 \]

Com \(\lambda\) sendo o intervalo de tempo entre eventos. Como a frase anterior explicita, esta função é usada para previsão de ocorrência de eventos, exemplos sendo decaimento de partículas radioativas, ocorrencia de mutação no DNA ou até o tempo que uma compania dê calote aos seus investidores.

No R, a função exponencial e outros cálculos relacionados a ela podem ser chamados os seguintes comandos:

dexp(argumento, rate)
qexp(argumento, rate)
pexp(argumento, rate)
rexp(argumento, rate)

Com r representando a frequência \(\lambda\).

A distribuição qui-quadrado tem uma aplicação interna dentro do estudo da estatística inferencial como uma ferramenta para realizar testes de aderência: um teste de hipótese para determinar se um conjunto de dados tem a possibilidade de obedecer a uma distribuição ou não.

A sua fórmula é dada em:

\[ f(x; k) = \frac{x^{k/2 - 1}e^{-k/2}}{2^{k/2}\Gamma \big(\frac{k}{2} \big)} , x > 0, k > 0 \]

Com \(k\) representando os graus de liberdade (número de valores independentes na amostra) e \(\Gamma\) se refere à função gama, a qual não será explicada aqui pois estará fora de escopo desta apresentação.

Ela pode ser invocada pela famíla de funções chisq:

dchisq(argumento, df, ncp)
qchisq(argumento, df, ncp)
pchisq(argumento, df, ncp)
rchisq(argumento, df, ncp)

Com df representando os graus de liberdade e ncp o nível de signifcância do teste.

Outra distribuição usada na estatística inferencial, esta distribuição pode ser aplicada para testes de hipótese para diferença a média de uma amostra e sua população, diferença de média entre duas amostras da mesma população ou para coeficientes de correlação

A expressão de sua função é dada em:

\[ f(x; \upsilon) = \frac{\Gamma \big(\frac{\upsilon + 1}{2} \big)}{\sqrt{\pi \upsilon} \ \Gamma \big(\frac{\upsilon}{2} \big)} \bigg(1 + \frac{x^2}{\upsilon} \bigg)^{- \frac{\upsilon +1}{2}} , x > 0, \upsilon > 0 \]

Com \(\upsilon\) representando os graus de liberdade, mencionados na seção anterior.

Dentro do R, ela possui uma estrutura muito semelhante a chisq, sendo convocada por t:

dt(argumento, df, ncp)
qt(argumento, df, ncp)
pt(argumento, df, ncp)
rt(argumento, df, ncp)

Com df representando os graus de liberdade e ncp o nível de signifcância do teste.